Контрольная работа: Сопротивление материалов

,

где    см4; см.

см4.

;

где    см4; см;

см4.

Суммарный момент инерции относительно главной оси

см4.

Точно также вычисляем момент инерции относительно главной оси .

Для прямоугольника I

,

где    см4;

см4.

Для прямоугольника II

,

где    см4; см.

см4.

Для треугольника III

,

где    см4; см.

см4.

Суммарный момент инерции относительно оси

см4.

5. Вычерчиваем сечение в масштабе 1:5 с указанием на нем всех осей и размеров (рис.2).

Рис.3. Сечение геометрической формы

a) Сечение, составленное из стандартных профилей проката.

1. Определяем координаты центра тяжести.

Для этого проводим вспомогательные оси ,  таким образом, что ось  совпадает с нижним основанием полосы, а ось  совпадает с осью симметрии фигуры. Разбиваем сечение на три фигуры: прямоугольную полосу и два швеллера № 30, для которых все необходимые данные выбираем из таблиц сортамента [1, c.284].

Находим геометрические характеристики прямоугольной полосы:

см2;

см4;

см4.

Поскольку ось  является осью симметрии сечения, то она будет являться главной центральной осью сечения

Ординату центра тяжести сечения определяем по формуле

,

где    – расстояние от оси  до центра тяжести сечения прямоугольной полосы;

см;

 – расстояние от оси  до центра тяжести швеллеров;

см.

Подставляя числовые значения, получим

см.

По этим данным наносим точку  – центр тяжести сечения и проводим главные центральные оси  и .

2. Вычисляем главные моменты инерции относительно осей  и :

;       .

Вычисляем момент инерции полосы  относительно оси

см4,

где    – расстояние от оси  до центра тяжести прямоугольника

см.

Аналогично находим момент инерции швеллера относительно оси :

,

где    см;

см4.

Главный момент инерции

см4.

Точно также вычисляем главный момент инерции сечения относительно оси .

Для прямоугольной полосы

см4.

Для швеллера

,

где    см.

см4.

Суммарный момент инерции относительно оси

см4.

3. Вычерчиваем сечение в масштабе 1:2 с указанием на нем всех осей и размеров (в см) (рис.4).

Рис.4. Сечение, составленное из стандартных профилей проката

Задача 4

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов от расчетной нагрузки. Проверить несущую способность деревянной балки.

Данные для задачи своего варианта взять из табл. 4 и схемы на рис. 11.

Таблица 4

Решение

1. Выполняем расчетную схему согласно исходных данных (рис.5,а).

Отбросим опоры и заменим их влияние на балку опорными реакциями  и  (рис.5, б).

Определяем опорные реакции.

Составим сумму моментов всех сил относительно точки :

; ,

откуда

кН.

Составим сумму моментов всех сил относительно точки :

; ,

откуда

кН.

Проверка:

.

Следовательно, реакции определены правильно.

2. Балка имеет три участка. Обозначим через  расстояние от левого или правого концов балки до некоторого его сечения. Составим выражения для поперечных сил  и изгибающих моментов , возникающих в поперечных сечениях балки и по ним установим значения ординат эпюр в ее характерных сечениях.

Участок I :

;

.

При

кН;

.

При м

кН;

кН∙м.

Поскольку уравнение изгибающего момента – уравнение параболы, то для построения эпюры  определим еще одно значение момента:

при м

кН∙м.

Участок II :

;

.

При м

кН;

 кН∙м.

При м

кН;

кН∙м.

Участок III :

;

.

При

кН;

.

При м

кН;

кН∙м.

3. По полученным ординатам строим эпюры  и  балки (рис.5, в, г).

Рис. 5. Расчетные схемы к задаче 4

4. Условие прочности деревянной балки записывается в виде

,                                  (1)

где    – максимальный изгибающий момент, действующий в поперечном сечении балки. Из эпюры изгибающих моментов имеем кН∙м;

 – момент сопротивления сечения при изгибе; для сечения прямоугольной формы

,

где    ммм – ширина прямоугольного сечения балки;

ммм – высота прямоугольного сечения балки;

м3;

 – допускаемые напряжения при изгибе; для дерева принимаем МПа.

Проверяем несущую способность деревянной балки

ПаМПа,

что значительно больше допускаемых напряжений. Следовательно, несущая способность балки не соблюдается.

Ответ: Прочность балки недостаточна.

Задача 5

Для двухопорной балки подобрать сечение двутавра из условия прочности.

Проверить прочность по касательным напряжениям. Построить эпюры  и  для сечений, в которых  и . Нагрузку принять состоящей: 1) из 80% постоянной, коэффициент перегрузки  2) из 20% временной, коэффициент перегрузки .

Данные для задачи своего варианта взять из табл. 5 и схемы на рис. 12.

Таблица 5

Решение

1. Определяем действительные значения нагрузок, действующих на балку, используя метод расчета предельного состояния по несущей способности.

При этом расчетное усилие в балке (в нашем случае  и ) определяем как сумму усилий от каждой нормативной нагрузки (постоянной и временной) с учетом соответствующих каждой нагрузке коэффициентов перегрузки. В результате получим

кН∙м;

кН/м.

2. Выполняем расчетную схему согласно исходных данных (рис.6,а).

Отбросим опоры и заменим их влияние на балку опорными реакциями  и  (рис.6, б). Учитывая симметричность конструкции, получим

кН.

2. Балка имеет три участка. Обозначим через  расстояние от левого или правого концов балки до некоторого его сечения. Составим выражения для поперечных сил  и изгибающих моментов , возникающих в поперечных сечениях балки и по ним установим значения ординат эпюр в ее характерных сечениях.

Участок I :

;

.

При

кН;

кН∙м.

При м

кН;

кН∙м.

Участок II :

;

.

При м

кН;

 кН∙м.

При м

кН;

кН∙м.

Так как на концах участка II поперечная сила меняет свой знак с плюса на минус, то на данном участке изгибающий момент принимает максимальное значение.

Из условия  найдем абсциссу  сечения, в котором действует изгибающий момент :

,

откуда

м.

Тогда при м

кН∙м.

Участок III :

;

.

При

кН;

.

При м

кН;

кН∙м.

3. По полученным ординатам строим эпюры  и  балки (рис.6, в, г).

Рис. 3. Расчетные схемы к задаче 3

4. Определяем из условия прочности необходимый момент сопротивления сечения

,                                           (1)

где    – максимальный изгибающий момент, действующий в поперечном сечении балки. Из эпюры изгибающих моментов имеем кН∙м;

 – момент сопротивления сечения при изгибе;

 – допускаемые напряжения при изгибе; принимаем для стали Ст3

МПа.

Из выражения (1) находим требуемый момент сопротивления сечения

м3см3.

Для подбора сечения балки в виде двутавра используем таблицу сортамента [1, с.283], откуда выбираем для заданного сечения балки двутавр № 40, для которого см3. Перегрузка при этом составит

,

что вполне допустимо (< 3%).

5. Построим эпюры  и  для сечений, в которых  и .

Сечение С (расположено посередине пролета ). В данном сечении действуют только нормальные напряжения, так как поперечная сила равна нулю.

Нормальные напряжения вычисляем по формуле Навье

.

В данном сечении кН∙м, кН.

Данные для двутавра №40: мм; мм; мм; мм; см2; см4; см3.

Обозначим характерные точки по высоте сечения (рис.7).

Точка 1:

ммм;

ПаМПа.

Поскольку изгибающий момент положительный, то точки 1 и 2 лежат в сжатой зоне и напряжения в этих точках имеют отрицательный знак.

Точка 2:

ммм;

ПаМПа.

Точка 3:

, так как . Ось, проходящая через точку 3, называется нейтральной осью.

Точки 4 и 5. В этих точках значения нормальных напряжений те же, что и в точках 2 и 1, только положительные, так как точки 4 и 5 лежат в растянутой зоне.

МПа;

МПа.

По полученным значениям строим эпюру  (рис.7).

Рис.7. Эпюра нормальных напряжений в сечении С

Сечение D. Здесь действует максимальная поперечная сила кН, а изгибающий момент равен кН∙м.

Касательные напряжения  вычисляем по формуле

.

В точках 1 и 5  (рис.8).

Точки 2 и 4. Вычисляем статический момент площади поперечного сечения

,

где    – отсеченная часть площади поперечного сечения;

 – координата центра тяжести отсеченной площади.

м3.

При мм

ПаМПа.

При мм

ПаМПа.

Точка 3. Это точка, расположенная на уровне нейтральной оси. Для нее имеем [2, с.257]

м3.

ПаМПа.

Нормальные напряжения в сечении D

ПаМПа (сжатие);

МПа (растяжение).

Строим эпюры напряжений в сечении D (рис.8).

Рис. 8. Эпюра касательных напряжений в сечении А

Максимальное касательное напряжение имеет место на нейтральной линии, то есть МПа.

Допускаемое касательное напряжение по 3-й теории прочности принимаем равным МПа.

Следовательно, для балки двутаврового сечения

МПа<96МПа.

Условие прочности выполняется.

Задача 6

Подобрать сечение равноустойчивой центрально сжатой колонны из двух швеллеров или двутавров (в зависимости от варианта выполняемой задачи), соединенных планками способом сварки. Материал - сталь Ст3, расчетное сопротивление МПа. Данные для задачи своего варианта взять из табл. 7 и рис. 13. Принять .

Решение

1. Определяем действительное значение нагрузки, действующей на колонну, используя метод расчета предельного состояния по несущей способности.

При этом расчетное усилие в колонне (в нашем случае ) определяем как сумму усилий от каждой нормативной нагрузки (постоянной и временной) с учетом соответствующих данной нагрузке коэффициентов перегрузки. В результате получим

МНкН.

2. Равноустойчивость колонны во всех направлениях будет обеспечена при равенстве моментов инерции относительно осей  и . Момент инерции сечения относительно оси  не зависит от расстояния , поэтому подбор сечения произведем, учитывая это обстоятельство.

3. Принимая в качестве первого приближения значение коэффициента , находим площадь поперечного сечения колонны

м2см2.

Из таблиц сортамента [1, с.284] выбираем два швеллера № 30, для которых суммарная площадь сечения равна см2.

Наименьший радиус инерции из той же таблицы для составного сечения

см.

Определяем гибкость колонны

.

Коэффициент  из табл.X.1[1] получаем равным .

Повторим расчет, принимая

.

Далее находим

м2см2.

Из таблиц сортамента [1, с.284] выбираем два швеллера № 20а, для которых суммарная площадь сечения равна см2; см. Гибкость колонны при этом будет равна

.

Коэффициент  из табл.X.1 получаем равным .

Еще раз повторим расчет, приняв

.

Далее получаем

м2см2.

Выбираем швеллер № 18а. Тогда см2; см.

Гибкость

.

Коэффициент продольного изгиба при этом равен .

Еще раз произведем расчет

.

Далее получаем

м2см2.

Выбираем швеллер № 18. Тогда см2; см.

Гибкость

.

Коэффициент продольного изгиба при этом равен   и очень мало отличается от . Расчет заканчиваем и принимаем швеллер № 18, для которого см4; см4; см2.

Момент инерции сечения колонны относительно оси  равно

см4.

Момент инерции сечения колонны относительно оси  равно

.

Условие равноустойчивости имеет вид

.

Подставляя сюда значения моментов инерции, получим

,

откуда находим расстояние от центра тяжести швеллера до оси

см.

Определяем длину пластин

см

Ответ: Сечение колонны: два швеллера № 18, соединенные пластинами длиной см способом сварки.

Список использованной литературы

1. Степин П.А. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1983.

2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1989.

3. Ицкович Г.М. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1986.