|
Основные представления о специальной и общей теории относительностиПри ? = V/c > 0 релятивистский закон сложения скоростей (13) с точностью до линейных по ? членов переходит в формулу преобразования скоростей в классической механике: |v = v' + V.| | | | | Из (13) следует, что скорость частицы меньшая скорости света в вакууме (v' < c) в одной системе отсчета, останется меньше скорости света в вакууме (v < c) в любой другой системе отсчета, движущейся по отношению к первой с досветовой скоростью V < c. Если же [pic]' = (c,0,0), то [pic]= (c,0,0): скорость света одна и та же во всех системах отсчета. Более общее преобразование скорости можно получить из формулы (14), если в ней перейти к дифференциалам координат и времени и использовать, что vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt и аналогичные выражения для vx', vy', vz'. После преобразования получившегося соотношения, получим |vx' = | |vx + V | |[pic] | |1 - V vx/c2 | |, vy' = | |vy | | | |________ | |?1 - V2/c2 | | | | | | | |[pic] | |1 - V vx/c2 | |, vz' = | |vz | | | |________ | |?1 - V2/c2 | | | | | | | |[pic] | |1 - V vx/c2 | |. | | | 2.5 Собственное время, события и мировые линии частиц В качестве часов наблюдатели в системах S, S' могут использовать любой периодический процесс, например, излучение атомов или молекул на определенных фиксированных частотах. Время, отсчитываемое по часам, движущимся вмемте с данным объектом, называется собственным временем этого объекта. Для измерения длин можно взять некоторый эталон - линейку. Собственной длиной линейки называется ее длина l0 в той системе, в которой она покоится. Величина l0 равна модулю разности координат концов линейки в один и тот же момент времени. Совокупность декартовых координат [pic]= (x,y,z) и момента времени t в некоторой инерциальной системе отсчета определяют событие. Событием является, например, нахождение точечной частицы в момент времени t в точке пространства, указанной вектором [pic]. Множество всех событий образуют "четырехмерный Мир Минковского". Отдельные точки в четырехмерном пространстве указывают координаты и время некоторого "события". Последовательность кинематических состояний любого тела (его координаты в разные моменты времени) изображается мировой линией (Рис. 7). [pic] Рис. 7 Если частицы движутся только вдоль оси 0x, то наглядно представить "Мир Минковского" можно с помощью плоскости координат (с t, x). Время удобно умножить на скорость света, чтобы обе координаты имели одинаковую размерность. Это можно сделать, поскольку скорость света - универсальная мировая константа. [pic] Рис. 8 Мировыми линиями (в отличие от траекторий классической механики) обладают не только движущиеся, но и покоящиеся в данной инерциальной системе отсчета тела. Так, мировая линия тела, покоящегося в начале координат, будет совпадать с временной осью 0 ct, а тела, покоящегося в пространственной точке xa - является прямой AB, параллельной оси времени. Мировая линия тела, движущегося с постоянной скоростью V - (и при t = 0, находящегося в точке x(0) = 0) - прямая CD; мировая линия светового луча, испущенного из начала координат в напралении оси x - биссектриса координатного угла OF; мировая линия тела, движущегося с переменной скоростью v(t) - кривая MN (cм. Рис. 8а)) 2.6 Геометрический смысл преобразований Лоренца Выясним теперь геометрический смысл преобразований Лоренца. Еще раз запишем его только для x и t в виде |x' = ? (x - ? ct), ct' = ? (ct -| |? x). | | | Это линейное однородное преобразование, очень похожее на преобразование поворота на угол ? в плоскости XY: |x' = x cos?+ y sin?, y' = - | |x sin?+y cos?. | | | Новые оси x', y', получающиеся в результате поворота изображены на Рис. 8 б). Важнейшим свойством преобразования поворота является сохранение расстояния между любыми двумя точками: r12 = r'12. Здесь: [pic] Введем величину, зависящую от параметров двух событий { [(r1)\vec],t1 } и { [(r2)\vec],t2 } и определенную равенством |s12 = [ c2 (t2 - t1)2 - (x2 - x1)2 - (y2 - |(15) | |y1)2- (z2 - z1)2 ]1/2. | | | | | Она называется пространственно - временным интервалом. Прямой подстановкой формул (12) можно проверить, что величина пространственно - временного интервала между двумя событиями является инвариантом преобразований Лоренца: |s12' = s12. |(16) | | | | В двумерном случае [pic]можно рассматривать как "расстояние" между точками плоскости ct, x. Но квадрат разности координат входит в s12 со знаком "минус". Пространство, в котором расстояние между точками определено формулой (15) называется псевдоевклидовым. Наряду с отмеченным сходством, между евклидовым и псевдоевклидовым пространствами имеются принципиальные различия. В евклидовом пространстве расстояние между любыми точками r212 ? 0, равенство нулю означает, что точки совпадают. В псевдоевклидовом пространстве s212 может иметь любой знак, а его обращение в нуль возможно для двух совершенно различных точек пространства - времени. Найдем положение новых осей (x', ct') на псевдоевклидовой плоскости. Отложим координата x, ct на прямоугольных осях. (Рис. 9). Точка x' = 0, сопадающая с началом координат системы S', движется в системе S со скоростью V. Ее мировая линия будет представлять собой ось времени ct' системы S'. Эта ось будет наклонена к оси ct на угол ? = arctg (V/c). Ось x' новой системы можно определить условием ct' = 0. Но тогда в старой системе координат это будет прямая ct = ?x, проходящая через начало координат и составляющая с осью x тот же угол ? = arctg (V/c). Приходим к выводу, что новая система координат косоугольна! Если попытаться найти связь между отрезками x', ct' и x, ct, посто проектируя отрезки (так как это делается в эвклидовом случае), то получится неправильный результат. Преобразования Лоренца не только поворачивают оси, но и искажают масштабы координат по осям! Итак, основной результат состоит в том, что преобразования Лоренца можно интерпретировать, как псевдоевклидово вращение системы координат в пространстве Минковского. [pic] Рис. 9 С помощью Рис. 9 можно дать геометрическую интерпретацию различным следствиям из преобразований Лоренца. Вспомним, например, относительность одновременности. В системе S линии равного времени - прямые параллельные оси 0x. В системе S' - это прямые, параллельные 0x', не совпадающие с линиями равного времени в системе S. Поэтому события, одновременные в S, не будут в общем случае одновременными в S. Например, между одновременными в системе S событиями A и B в системе S' пройдет промежуток времени ? t' = |A'B'|/c, причем событие B произойдет раньше. Как ясно из вышеизложенного, на псевдоевклидовой плоскости квадрат интервала s212 может быть как положительным, так и равным нулю и отрицательным. Если s212 > 0, его называют времениподобным, при s212 < 0 - пространственноподобным, при s212 = 0 - светоподобным или нулевым. Характер интервала тесно связан c причинностью - он определяет возможность причинной связи событий, происходящих в пространственно - временных точках 1 и 2. Если s212 > 0, то из точки 1 можно послать сигнал со скоростью [pic], который вызовет событие 2. В случае s212 = 0 это также возможно, но сигнал должен посылаться с предельной скоростью c. События, разделенные пространственноподобным интервалом, не могут быть причинно обусловлены, т.к. сигналы не могут распространяться со скоростью [pic]. 2.7 Замедление времени Рассмотрим часы, покоящиеся в начале координат движущейся системы (x' = 0), которые перемещаются относительно лабораторной системы координат со скоростью V, так что их координата x = V t пропорциональна времени, определяемому неподвижными часами. Инвариантность интервала позволяет, тогда, определить показания движущихся часов: |t' = t |(17) | | | | |________ | | |?1 - V2/c2 | | | | | |. | | | | | Время, измеряемое часами, движущимися относительно лабораторной системы отсчета, замедляется. Как ни покажется странным, но тот же вывод справедлив относительно замедления темпа хода часов в лабораторной системе координат с точки зрения наблюдателя из движущейся системы отсчета, т.е. "движущиеся" и "покоящиеся" часы взаимно отстают друг от друга. С последним замечанием тесно связан широко известный парадокс близнецов (см. ниже раздел "Задачи"). Замедление хода времени в движущейся системе отсчета было экспериментально подтверждено американскими физиками Б. Росси и Д.Х. Холлом в 1941 году. Они наблюдали увеличение среднего времени жизни мюонов, двигавшихся со скоростью v ? c, в 6 ч8 раз по сравнению с временем жизни неподвижных мюонов. Особая ценность этого эксперимента состоит в том, что процесс распада мюонов определяется слабым взаимодействием, в то время как СТО была построена для описания систем с электромагнитным взаимодействием. 2.8 Лоренцево сокращение длины Стержень, расположенный вдоль оси 0'X' движущейся системы отсчета и покоящийся в ней, имеет длину l0. Если один из концов стержня (для простоты) сосвпадает с началом координат этой системы, то в момент t = 0 по часам лабораторной системы отсчета координаты концов стержня определяются преобразованием Лоренца: |x1 = 0, x2 = l = l0 |(18) | | | | | ________ | | |?1 - V2/c2 | | | | | |. | | | | | Длина движущегося стержня в лабораторной системе отсчета уменьшается в направлении движения. Это изменение длины называется сокращением Лоренца - Фитцджеральда. Поскольку поперечные размеры тела не изменяются, то легко видеть, что объем тела также уменьшается: |V = V0 |(19) | | | | | ________ | | |?1 - V2/c2 | | | | | |. | | | | | 3 Динамика специальной теории относительности 3.1 Энергия и импульс частицы Под массой частицы m будем понимать ее массу, измеряемую в системе покоя частицы - массу покоя. Релятивистским импульсом частицы массы m, движущейся в выбранной инерциальной системе отсчета со скоростью [pic], называется векторная величина [pic], определяемая формулой | |(20) | |> | | |p | | | | | |= | | |m | | |> | | |v | | | | | | | | | | | |[pic] | | | | | | | | | ________ | | |?1 - (v/c)2 | | | | | | | | | | | | | | |. | | | | | Релятивистский импульс имеет ту же размерность, что и импульс в классической механике. При v/c > 0, [pic]> m [pic] (с точностью до линейных по v/c слагаемых). Энергией частицы в релятивистской физике называется величина E, определяемая выражением |E = |(21) | |m c2 | | |[pic] | | | | | | | | | ________ | | |?1 - (v/c)2 | | | | | | | | | | | | | | |. | | | | | Энергия имеет ту же размерность и измеряется в тех же единицах, что и энергия в ньютоновской механике. Энергия частицы в той системе отсчета, в которой она покоится, называется ее энергией покоя E0: |E0 = | |mc2. | | | При ? = v/c > 0 релятивистское выражение для энергии частицы может быть записано в виде |E = mc2 + | |m v2 | |[pic] | |2 | |= E0 + | |m v2 | |[pic] | |2 | |. | | | Второе слагаемое совпадает с кинетической энергией частицы в классической теории. Разность E - mc2 = T называют кинетической энергией релятивистской частицы. Из формул (20) и (21) находим полезную формулу для скорости частицы: | |(22) | |> | | |v | | | | | |= c2 | | | | | |> | | |p | | | | | | | | | | | |[pic] | | |E | | |. | | | | | 3.2 Релятивистские преобразования энергии и импульса Рассмотрим вновь две инерциальные системы отсчета, движущиеся друг относительно друга со скоростью V в направлении оси x. Закон преобразования для величин (E, [pic]) и (E', [pic]'), измеряемых в системах S и S', имеет форму преобразования (23): |E' = |(23) | |E - V px | | |[pic] | | | | | | | | | ________ | | |?1 - (V/c)2 | | | | | | | | | | | | | | |, px' = | | |px - E V/c2 | | |[pic] | | | | | | | | | ________ | | |?1 - (V/c)2 | | | | | | | | | | | | | | |, py' = py, pz' = pz. | | | | | Таким образом,энергия и импульс частицы зависят от выбора системы отсчета, однако существует величина, которая имеет абсолютный смысл. Из формул (23) следует, что | | |? | |? | |? | | | |E' | |[pic] | |c | | | |? | |? | |? | |2 | | | | | |- | |> | |p | | | | '2 = | |? | |? | |? | | | |E | |[pic] | |c | | | |? | |? | |? | |2 | | | | | |- | |> | |p | | | | 2 = m2 c2, | | | из которого следует, что масса частицы одинакова во всех системах отсчета и, следовательно, является релятивистским инвариантом. [pic] Рис. 10 Используя последнее выражение можно легко получить соотношение, связывающее энергию и импульс в релятивистской физике: [pic] . Эта зависимость энергии от импульса изображена на Рис. 10. При малых значениях импульса E = m c2 + p2/2 m, а при достаточно больших импульсах E = p c. Иногда формулу (21), записывают в виде E = m(v) c2, вводя "релятивистскую массу" частицы, зависящую от скорости: |m(v) = | |m | |[pic] | | | | | | ________ | |?1 - (v/c)2 | | | | | | | | | |. | | | Саму же формулу (21) истолковывают, как "эквивалентность" энергии и массы в релятивистской физике. Однако такое утверждение приводит лишь к путанице (а в преждние времена вело даже к ожесточенным идеологическим спорам). Масса и энергия совершенно разные характеристики частицы. Масса - инвариант, а энергия - динамическая характеристика, зависящая от выбора системы отсчета. Взаимосвязь энергии и массы частицы имеет место только в системе покоя частицы. Поэтому понятие "массы, зависящей от скорости" [(m)/([?(1 - (v/c)2)])] лишено физического смысла! 3.3 Частицы с нулевой массой покоя Если в формулах (20,21) формально положить скорость частицы v = c, то энергия и импульс частицы обращаются в бесконечность. Это значит, что частица с отличной от нуля массой покоя не может двигаться со скоростью света. В релятивистской механике однако предполагается, что существовуют частицы с массой покоя равной нулю, всегда движущиеся со скоростью света. Из (22) видно, что для таких частиц модуль импульса и энергия связаны соотношением: || | |> | |p | | | || = | |E | |[pic] | |c | |, | | | откуда следует, что здесь |(E/c)2 - | |> | |p | | | | 2 | | | |= 0 | | | в соответствии с тем, что m = 0. К частицам с нулевой массой покоя относятся, например, фотоны - кванты электромагнитного поля. В больших деталях их свойства будут обсуждены в разделе "Квантовая теория" - задание N 5. 3.3 Релятивистский эффект Доплера Рассмотрим плоскую монохроматическую волну |E( |(23) | |> | | |r | | | | | | ,t) = E0 cos | | |? | | |? | | | | | |> | | |k | | | | | |· | | |> | | |r | | | | | |- ? t | | |? | | |? | | |. | | | | | Здесь ?- частота волны, а [pic]= k [pic] - волновой вектор (k = [(?)/( c)] - волновое число, [pic]- единичный вектор в направлении распространения волны (см. Рис. 11).) [pic] Рис. 11 Выясним закон преобразования частоты и волнового вектора при переходе в другую инерциальную систему отсчета. Будем для определенности считать, что волна распространяется под углом ? к оси 0x, вдоль которой со скоростью V движется "штрихованная" система отсчета S'. Из Рис. 11 видно, что существуют пространственно - временные точки, в которых векторы поля обращаются в нуль (узловые точки волны - те точки, в которых косинус равен нулю). Ясно, что это свойство поля носит объективный характер и должно выполняться во всех инерциальных системах отсчета. Отсюда следует, что фаза электромагнитной волны должна быть инвариантна! | | |> | |k | | | |· | |> | |r | | | |- ?t = | |> | |k | | | |' | | | |· | |> | |r | | | |' | | | |-?' t'. | | | В декартовых координатах это условие принимает вид: |kx x +ky y + kz z -? t = kx' x' |(24) | |+ky' y' + kz' z' - ?' t'. | | | | | Поскольку x, y, z, t связаны с x', y', z', t' преобразованием Лоренца , то для обеспечения инвариантности фазы необходимо, чтобы выполнялись преобразования |?' = |(25) | |?- V kx | | |[pic] | | | | | | | | | ________ | | |?1 - V2/c2 | | | | | | | | | | | | | | |, kx' = | | |kx - V/c2 ? | | |[pic] | | | | | | | | | ________ | | |?1 - V2/c2 | | | | | | | | | | | | | | |, ky' = ky, kz' = kz. | | | | | Прямой подстановкой формул (25) в соотношение (24) можно проверить его выполнение. Найдем теперь связю между частотой ?0 в системе источника волны и частотой ? той же волны в системе наблюдателя. Полагая в первой формуле из (25) ?' = ?0, kx = [(?)/( c)] cos?, где ?- угол распространения волны относительно V в системе наблюдателя (приемника), найдем |? = ?0 |(26) | | | | | | | | ________ | | |?1 - V2/c2 | | | | | | | | | | | |[pic] | | |1 - (V/c)cos? | | |. | | | | | Эта формула выражает собой эффект Доплера - изменение частоты волны, вызанное относительным движением источника и приемника. При V/c 0) и убывает при их удалении (V|| < 0) продольный эфект Доплера. Если относительная скорость направлена перпендикулярно лучу зрения (cos? = 0), то уменьшение частоты представляет собой эффект, квадратичный по V/c: |?? = - | |?0 | |[pic] | |2 | | | |? | |? | |? | | | |V | |[pic] | |c | | | |? | |? | |? | |2 | | | | | | | | | - поперечный эффект Доплера. При выводе последних двух формул учтено, что при V/c << 1 | | |1 | |[pic] | |1 - (V/c)cos? | |? 1 + (V/c)cos?, | | | | ________ | |?1 - (V/c)2 | | | |? 1 - (V/c)2/2. | | | Красное смещение (в сторону волн большей длины) наблюдаемое на Земле в спектрах излучения далеких галактик по сравнению с эталонными линиями интерпретируется как эффект раширения Метагалактики (наблюдаемой части Вселенной) - взаимного удаления галактик друг от друга. В 1928 г. Э. Хабблом было обнаружено, что скорости разбегания галактик приблизительно пропорциональны расстоянию до них: |v ~ | |H R. | | | Константа Хаббла H ? 50 ч100 км/(с·Мпк). Значение H-1 ? 13 млрд. лет определяет время, истекшее с начала расширения Метагалактики при условии постоянной скорости расширения. Заключение ОТО — завершенная физическая теория. Она завершена в том же смысле, что и классическая механика, классическая электродинамика, квантовая механика. Подобно им, она дает однозначные ответы на физически осмысленные вопросы, дает четкие предсказания для реально осуществимых наблюдений и экспериментов. Однако, как и всякая иная физическая теория, ОТО имеет свою область применимости. Так, вне этой области лежат сверхсильные гравитационные поля, где важны квантовые эффекты. Законченной квантовой теории гравитации не существует. ОТО — удивительная физическая теория. Она удивительна тем, что в ее основе лежит, по существу, всего один экспериментальный факт, к тому же известный задолго до создания ОТО (все тела падают в поле тяжести с одним и тем же ускорением). Удивительна тем, что она создана в большой степени одним человеком. Но прежде всего ОТО удивительна своей необычайной внутренней стройностью, красотой. Не случайно Ландау говорил, что истинного физика-теоретика можно распознать по тому, испытал ли человек восхищение при первом же знакомстве с ОТО. Примерно до середины 60-х годов ОТО находилась в значительной мере вне основной линии развития физики. Да и развитие самой ОТО отнюдь не было весьма активным, оно сводилось в большой степени к выяснению определенных тонких мест, деталей теории, к решению пусть важных, но достаточно частных задач. Вероятно, одна из причин такой ситуации состоит в том, что ОТО возникла в некотором смысле слишком рано, Эйнштейн обогнал время. С другой стороны, уже в его работе 1915 года теория была сформулирована в достаточно завершенном виде. Не менее важно и то обстоятельство, что наблюдательная база ОТО оставалась очень узкой. Соответствующие эксперименты чрезвычайно трудны. Достаточно напомнить, что красное смещение удалось измерить лишь спустя почти 40 лет после того, как было обнаружено отклонение света в поле Солнца. СТО возникла больше для решения специальных задач и никоим образом не противоречит принципам ОТО. Она лишь дополнение реального состояния науки с точки зрения потребности современной физики и естествознания. Релятивизм не мертв, он лишь отражение состояния научно-технической мысли того времени. Тем не менее, в настоящее время СТО — бурно развивающаяся область современной физики. Это результат огромного прогресса наблюдательной астрономии, развития экспериментальной техники, впечатляющего продвижения в теории. Список использованных источников 1. “Принцип относительности” Лоренц, Пуанкаре, Эйнштейн и Минковский; ОНТИ ; 1935 г., стр. 134 2. Полное собрание трудов, Л. И. Мандельштам; Том 5, стр. 172 3. А.Эйнштейн. К электродинамике движущихся сред. - М.: 1966. 4. "Общая теория относительности"; Н. В. Мицкевич; Москва., 1927 г 5. "Парадоксы теории относительности"; Я. П. Терлецкий; Москва., 1965 г. 6. Л.В. Тарасов, Современная физика в средней школе. М.: Просвещение, 1990. 7. В.Н. Дубровский, Я.А. Смородинский, Е.Л. Сурков, Релятивистский мир. (Библиотечка "Квант", выпуск 34). М.: Наука, 1984. 8. Э.Тейлор, Дж. Уилер, Физика пространства - времени. М.: Мир, 1969. 9. И.И. Гольденблат, Парадоксы времени в релятивистской механике. М.: Наука, 1972. 10. И.М. Гельфгат, Л.Э. Генденштейн, Л.А. Кирик, 1001 задача по физике с ответами, указаниями, решениями. Москва - Харьков, Илекса. 1997. 11. И.И. Воробьев Теория относительности в задачах. М.: Наука, 1989. 12. П.В. Елютин, Г.А. Чижов, Словарь-справочник по элементарной физике. Часть 3. М., 1995. 13. Эйнштейн, Л.Инфельд. Эволюция физики. - М.: 1966. 14. В.Л.Гинзбург. О теории относительности. - М.: Наука, 1970. 15. Г.Линдер. Картины современной физики. - М.: Мир, 1977. 16. А.В.Горелов. Элементы теории относительности- элементарное изложение специальной теории относительности. 17. П.А.М.Дирак. Воспоминания о необычайной эпохе. - М.: Наука, 1990. ----------------------- [pic] Рис.1. Сферический треугольник Рис. 2. Гравитационная линза. Осесимметричный случай. S — источник, L — линза; O — наблюдатель Рис.3. Гравитационная линза. Общий случай. S — проекция источника на фронтальную плоскость, L — проекция линзы, I1, I2 — изображения источника |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, сочинения, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое. |
||
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна. |