Это обычный квадратичный закон дисперсии.
Однако с переходом к квазичастицам положение радикально меняется!
И это прямо связано с резко иным характером малых кристаллических
пространств по сравнению с «пустым» пространством малого. Очень четко и
интересно резюмируют результаты такого перехода И.М. Лившиц и В.М.
Агранович. Они пишут, что для квазичастиц положение радикально
меняется, потому что «квазичастицы не в пустом пространстве,, не в
вакууме, а в кристаллическом пространстве, которое имеет симметрию,
отвечающую соответствующей пространственной группе кристалла. В связи с
этим имеется выделенная система отсчета и нет прежнего принципа
относительности. Поэтому нет и закона дисперсии, который имеет место
для истинных частиц. Вместо этого возникает сложный закон дисперсии
Е=Е(р), причем вместо импульса приходится говорить о квазиимпульсе, ибо
пространство уже неоднородно и закон сохранения импульса, который
является точным законом в однородном пространстве, в кристаллическом
пространствевыполняется с точностью до целочисленного вектора обратной
решетки, умноженной на h.
Закон дисперсии для квазичастиц существенно отличается от
элементарного закона Е=р /2т. Во-первых, Е(р) – периодическая функция
р с периодом, равным периоду обратной решетки, умноженному на h. Во-
вторых, имеется, вообще говоря, резкая анизотропия этого закона
дисперсии и, следовательно, анизотртпия всех свойств, определяемых
квазичастицами»ю
Далее. Для истинных частиц в зависимости Е=р /2т каждому Е
соответствуют поверхности, называемые поверхностями Ферми. В данном
случае это просто сферы, радиус которых растет пропорционально ?Е. Для
квазичастиц уже в пространстве квазиимпульсов функции Е=Е(р) при каждом
заданном Е соответствует периодически повторяющийся набор поверхностей
Ферми, которые иногда могут смыкаться в одну поверхность, проходящую
через все пространство. Придавая Е различные значения и изображая
графически в итоге всю функцию Е= Е(р), можно передать рисунком все
черты динамики квазичастиц. Получающиеся при таком подходе изображения
топологически очень сложны и чрезвычайно напоминают абстрактные
скульптуры. Они резко отличаются от примитивных по форме сфер.
Подобно истинным частицам одни из квазичастиц подчиняются
статистике Бозе- Эйнштейна и являются, стало быть, бозонами, другие –
Ферми-Дирака и являются фермионами.Но не всегда статистика квазичастиц
совпадает со статистикой истинных частиц. Так, в системе электронов
имеются квазичастицы-плазмоны, являющиеся бозонами, хотя, как известно,
свободные электроны являются фермионами.
2.КРИСТАЛЛЫ
2.2.1. История познания кристаллографической симметрии
Под кристаллографической симметрией в узком, или точном, смысле
обычно понимают такую симметрию (кристаллов), группы которой могут быть
полностью описаны с помощью простых, винтовых и зеркальных осей 1,2,3,4
и 6-го порядка оси переносов и плоскости скользящего отражения. При
этом трансляции, связанные с плоскостями скользящего отражения и
винтовыми осями, часто представляются конечными.
Кристаллографическая, или структурная, симметрия в широком смысле
от этих ограничений освобождена. Она включает первую как свой частный
случай и стало быть в принципе может быть представленагруппами и
симметрией, опивываемыми простыми, зеркальными и винтовыми осями любых,
в том числе 5,7,8,…,? порядков, а также осями переносов и плоскостями
скользящего отражения.
В истории познания Кристаллографической симметрии следует
остановиться на трех моментах, характеризующих диалектичность процесса
познания.
Во-первых, познание симметрии кристаллов и кристаллографической
симметрии шло по спиралям путем отрицания отрицания. Именно: от живого
созерцания – блещущей внешней формы кристаллов – к абстрактному
мышлению – их внутреннему решетчатому строению, а от него, с одной
стороны, к практике – к величайшему использованию кристаллов в
производстве и в быту, с другой- снова к внешней форме кристаллов, но
увиденной уже и изнутри.
Во-вторых, в познании кристаллографической симметрии весьма
интересна сама история названия этого вида симметрии.Учение о ней,
первоначально возникнув вне связи с изучением кристаллов, а затем тесно
с ним переплетаясь и получив свое наименование, решительно вышло — не
без старания самих кристаллографов — за рамки чисто «кристаллического»
представления о симметрии. И здесь снова шел сложный диалектический
процесс познания.
Третий момент отмечен В. И. Вернадским: «Кристаллография, — пишет
он, — стала наукой только тогда, когда первые основатели
кристаллографии в XVII в. Гульельмини и Стеноп, а главным образом в
XVIII в. Роме де Лиль, Гаюи правильно приняли за основу построения
научного исследования одно свойство природных кристаллов как основное и
оставили без внимания отклонения в наружной форме кристаллов от
идеальных многогранников геометрии как вторичные. Этим единым исходным
свойством был принят правильно закон постоянства гранных углов,
открытый независимо Гульельмини и Стснсепом, так называемый закон
Стенопа. Вторичными свойствами явились размеры и форма кристаллических
плоскостей и ребер кристаллических многогранников. Исходя из этого
построили реальные полиэдры—модели природных кристаллов, в которых
ребра и плоскости, теоретически являющиеся функцией гранных углов,
выявились в своей реальной величине и форме, нарушенных в природных
кристаллах проявлением поверхностных сил.
Эти силы оставлены были вначале без внимания.
Так получились идеальные полиэдры геометрии. Такие полиэдры были
впервые построены Роме де Лилем в XVIII столетии. Они называются
кристаллическими многогранниками». Идеальные по своей форме кристаллы
стали рассматриваться как... реальные с истинной симметрией, а
отклоняющиеся от них — как ложные с искаженной симметрией. Первые в
природе встречаются один на одну или даже несколько тысяч, с большим
трудом их удается получить в лабораторных условиях. Вторые составляют,
если можно так выразиться, сверхподавляющую часть природных кристаллов.
Они легко получаются в лабораторных условиях.
Результат такой ориентации известен: на протяжении столетий
наиболее часто встречающиеся, а потому поистине реальные «ложные»
кристаллы с искаженной симметрией оставались вне поля зрения
кристаллографов, что отрицательно сказалось на общем уровне учения о
реальных кристаллах, Се.ичас положение выправляется. И все же в таких
поворотах внимания кристаллографов было некоторое оправдание:
невозможно изучать само отклонение, не зная того, от чего оно
отклоняется...
Закон постоянства гранных углов Стенона впоследствии дал начало
учению о морфологической симметрии кристаллов — основе учения о
симметрии любых фигур с особенной точкой. Напомним слова А.В Шубникова
об особенных элементах фигуры: «Точка (прямая, плоскость) фигуры (или
ее части) называется особенной, если она совмещается с собою всеми
операциями фигуры (или ее части). Особенные геометрические элементы
существуют в фигурах в единственном числе». Центр сферы, ось конуса,
поперечная плоскость цилиндра—соответственно особенные точка, линия,
плоскость; трехмерное пространство в классическом учении о
пространственной симметрии кристаллов — также особенный геометрический
элемент.
Существует несколько наименований фигур с особенными точками.
Чаще всего их называют конечными или строже точечными фигурами, реже —
фигурами симметрии нулевого измерения. Последние могут быть разделены
на две категории: фигуры без особенных плоскостей и фигуры с особенными
плоскостями. Все платоновы тела и шар принадлежат к фигурам первой
категории. К фигурам второй категории принадлежат так называемые
розетки (одно- и двусторонние). Примеры односторонних розеток — фигуры
пуговицы, цветка растения, насекомого, детской бумажной вертушки,
фигуры травления на гранях кристалла; примеры двусторонних розеток -
решетки ворот, колеса, кольца, платки с одинаковым рисунком с обеих
сторон, буквы без лица и изнанки (П, Н, Ж ), снежинки, фигуры
млекопитающих, если смотреть на них сбоку (при другой ориентации они
предстанут уже в виде односторонних розеток). Таким образом, и у тех и
у других розеток имеется одна особенная плоскость с особенной точкой в
ней. При этом у односторонних розеток эта плоскость полярна, т. е. ее
«лицо» отлично от «изнанки», а у двусторонних она не полярна и может
являться поэтому плоскостью симметрии.
По-видимому, будет правильно связать развитие учения о симметрии
нулевого измерения с построениями древними математиками таких типичных
конечных фигур, как многоугольники и многогранники. Особое место здесь
должно быть отведено пяти правильным платоновым многогранникам,
которые Г. Вейль удач
но назвал древним эквивалентом некоторых
современных классов групп симметрии конечных
фигур.
Далее в изучении симметрии кристаллов
наблюдается досадный более чем
полуторатысячелетний перерыв. Возобновившийся
после столь длительного застоя ход исследований
в сухом перечне дат и фамилий выглядит так.
1611 г. — И. Кеплер указывает на сохранение
угла (в 60° между отдельными лучами у снежинок и
гениально объясняет это их внутренним сложением
из шарообразных частиц. 1669 г. — Н. Стенсен
открыл закон постоянства углов у кристаллов
кварца и гематита.
1670 г. — Э. Бартолин (1625—1698) то же
свойство указал для кальцита; 1695 г. — А.
Левенгук (1632—1723) — для гипса (малых и
больших кристаллов); 1749 г. — М. В. Ломоносов
(1711—1765) — для кристаллов селитры, пирита,
алмаза и других, положив тем самым начало
русской кристаллографии.
Лишьь в 1783 г. Роме де Лиль (1736—1790)
распространил закон постоянства углов на все
кристаллы, проведя десятки тысяч измерении на
большом числе объектов. Результаты измерений —
итог всей жизни — он систематически докладывал
ученым в Париже. Эти сообщения и были первыми
лекциями по кристаллографии. Закон постоянства
углов формулируется им в работе
«Кристаллография» так: «Грани кристалла могут
изменяться по своей форме и относительным
размерам,но их взаимные наклоны постоянны и
неизменны для данного рода кристаллов» .
В 1784—1801 гг. Р. Ж. Гаюи (1743—1822),
тщательно математически переработав данные Роме
де Лиля, установил другой важнейший закон
геометрической кристаллографии — закон целых
чисел (рациональных отношений параметров), с
которым непосредственно связан закон целых чисел
в химии Дальтона (1808 г.), бывавшего в то время
в Париже и слушавшего лекции Гаюи. Закон Гаюи
формулируется следующим образом: положение
всякой грани в пространстве можно определить
тремя целыми числами, если за координатные оси
взяты направления трех ребер кристалла, а за
единицу измерения — отрезки, отсекаемые на этих
осях гранью кристалла, принятой за единичную. X.
Венссом (1780—1856) в 1815 г. было предложено
деление кристаллов на сингонии (сейчас они
классифицируются на 7 сингоний, 3 категории). В
итоге всех исследований были сделаны два великих
открытия: открытие полных групп симметрии
кристаллов — морфологической (1830 г.) и через
60 лет структурной (1890 г.). Первое открытие на
основе закона целых чисел сделал в 1830 г.
малоизвестный при жизни марбургский профессор И.
Ф. Гессель (1796—1872), геометрически
доказавший, что внешняя форма кристаллов
описывается лишь 32 видами симметрии.
Одновременно он разработал полную теорию
симметрии конечных фигур и вывел бесконечное
множество видов их симметрии. Однако эта работа
осталась незамеченной. Те же 32 вида вновь, хотя
и иным путем, открыл уже в 1867 т. русский
ученый Л. В. Гадолин (1828—1892) . Замечательно,
что при жизни последнего эмпирически было
известно лишь 20 видов симметрии кристаллов.
Результаты Гесселя—Гадолина привели к выводу о
том, что фигуры симметрии нулевого измерения
полностью описываются бесконечным числом групп
(видов). Увеличение числа групп симметрии с 32
до ? объясняется просто: за счет учета и
запрещенных для кристаллов осей симметрии, т. е.
5, 7, 8, 9, 10,... и т. д., кроме ? , порядков.
Причина этого запрета стала понятна лишь после
раскрытия внутреннего строения кристаллов. Она
связана с решетчатым расположением атомов, ионов
и молекул, в трехмерном пространстве (О. Бравэ и
др.).
История второго величайшего
открытия связана с постепенной кристаллизацией
понятия «кристаллическая решетка». Эта идея
витала в воздухе. На нее исходя из разных
соображений указывали многие.
Например, И. Кеплер приписывает
кристалликам снежинок структуру, получающуюся
при плотной укладке шариков одного диаметра.
Аналогичные воззрения на структуру кристаллов
каменной соли, квасцов и других веществ
высказывались и Р. Гуком (1635—1703) в его
«Микрографии» (Лондон, 1665). Однако Гук
ограничивался рассмотрением расположения шариков
лишь на плоскости. Далее, И. Ньютон (1643—1724)
в «Оптике» (1675 г.) также предполагал, что при
образовании кристаллов частицы устанавливаются в
строй и ряды, поворачивая свои одинаковые
стороны в одинаковом направлении и застывая в
правильных фигурах. Аналогичные мысли
высказывали Д. Гульельмини, X. Гюйгенс
(1629—1695), М. Ломоносов и многие другие.
Пытаясь объяснить закон целых чисел, Гаюи на
углах кристаллической решетки ставил
многогранные молекулы; лишь в 1813 г. У. X.
Волластон (1766— 1828) заменил их шарами или
просто математическими точками: тем самым идея
кристаллической решетки приняла вполне
современный вид. Основываясь на достигнутом, О.
Бравэ в 1848 г. устанавливает, что всех типов
кристаллических решеток лишь 14 . Почва для
вывода всех пространственных групп симмитрии
кристаллов уже как бесконечных фигур была
готова.
Не позднее 1869 г. К. Жордан (1838—1922) в
«Мемуаре о группах движений» находит 65 из них,
содержащих только собственные (незеркальные)
движения; Л. Зонке (1842—1897) применил эти
группы в 1879 г. к кристаллографии. Вывод всех
230 пространственных групп симметрии был дан
почти одновременно и независимо друг от друга Е.
С. Федоровым в России (1890 г.) геометрически и
А. Шенфлисом (1853—1928) в Германии (1891 г.)
алгебраически на основе теории групп.
Открытия Федорова—Шонфлиса завершают целую
эпоху в изучении симметрии в природе, и прежде
всего кристаллов. Они позволили дать глубокое,
исторически первое — кристаллографическое —
учение о симметрии, оказавшееся частным случаем
второго, геометрического, а затем и более
фундаментального, одновременно и самого
абстрактного (динамического) понимания
симметрии.
2. 2.2.Симметрия кристаллов.
Правильную, симметричную форму кристаллов
издавна объясняли симметричным расположением
атомов. Само существование атомов было еще
гипотезой, но внешнее проявление стройного
порядка заставляло предполагать внутреннюю
причину. Быть может, правильные пирамиды,
сложенные из пушечных ядер, которые когда-то
делались круглыми, наводили на мысль, что
огранка кристаллов обязана способсти атомов
самостоятельно укладываться в стройном порядке.
Слово атом значит неделимый, атомы считали
такими же круглыми, гладкими и твердыми, как
ядра.
Как ни примитивен такой взгляд с нашей
нынешней точки зрения, он оказался необычайно
плодотворным в науке о кристаллах, где и сейчас
есть понятие плотной упаковки, такой, как в
пирамиде, сложенной из шаров.
Давнее, чисто умозрительное учение о
строении кристаллов принесло большую пользу еще
и потому, что позволило правильно подойти к
вопросу о возможных видах симметрии кристаллов.
Симметрия кристаллов-свойство кристаллов
совмещаться с собой при поворотах, отражениях,
параллельных переносах либо при части или
комбинации этих операций. Симметрия внешней
формы кристалла определяется симметрией его
атомного строения, которая обуславливает также и
симметрию физических свойств кристалла.
В наиболее общей формулировке симметрия-
неизменность (инвариантность) объектов и законов
при некоторых преобразованиях описывающих их
переменных. Кристаллы – объекты в трехмерном
пространстве, поэтому классическая теория
симметрии кристаллов- теория симметричных
преобразований в себя трехмерного пространства с
учетом того,что внутренняя атомная структура
кристаллов дискретная, трехмерно- периодическая.
При преобразованиях симметрии пространство не
деформируется, а преобразуется как жесткое
целое. Такие преобразования называются
ортогональными или изометрическими. После
преобразования симметрии части объекта,
находившиеся в одном месте, совпадают с частями,
находившимися в другом месте. Это означает, что
в симметричном объекте есть равные части
(совместимые или зеркальные).
Симметрия кристаллов проявляется не только
в их структуре и свойствах в реальном трехмерном
пространстве, но также и при описании
энергетического спектра электронов кристалла,
при анализе процессов дифракции нейтронов и
дифракциииэлектронов в кристаллах с
использованием обратного пространства.
Кристаллу может быть присуща не одна, а
несколько операций симметрии. Так, кристалл
кварца (рис.1,а) совмещается с собой не только
при повороте на 120°вокруг оси 3 (операция g1),
но и при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция
g2), а также при поворотах на 180° вокруг осей
2x, 2y, 2w(операции g3, g4, g5). Каждой операции
симметрии может быть сопоставлен элемент
симметрии – прямая, плоскость или точка,
относительно которой производится данная
операция. Например, ось 3 или оси 2x, 2y, 2w
являются осями симметрии, плоскость m (рис.1,б).
– плоскостью зеркальной симметрии и т.п.
Совокупность операций симметрии {g1, g2,…,gN}
данного кристалла образует группу симметрии G(
(g1,g2,…gN) в смысле математической теории
групп. Последовательность проведения операций
симметрии также является операцией симметрии. В
теории групп это обозначается как произведение
операций:g1g2=g3. Всегда существует операция
идентичности g0, ничего не изменяющая в
кристалле, называемая отождествлением, она
геометрически сооответствует неподвижности
объекта или повороту его на 360° вокруг любой
оси. Число операций, образующих группу,
называется порядком группы.Для описания
кристаллов используют различные группы
симметрии, из которых важнейшими являются
точечные группы симметрии, описывающие внешнюю
форму кристаллов; их называют также
кристаллографическими классами; пространственные
группы симметрии, описывающие атомную структуру
кристаллов.
Точечные группы симметрии. Операциями
точечной симметрии являются: повороты вокруг оси
симметрии порядка N на угол, равный 360°/ N
(рис. 2, а);отражение в плоскости симметрии т
(зеркальное отражение, рис. 2,б); инверсия 1
(симметрия относительно точки, рис.2,в);
инверсионные повороты N (комбинация поворота на
угол 360°/Н с одновременной инверсией, рис. 2,
г).
Вместо инверсионных поворотов иногда
рассматриваются эквивалентные им зеркальные
повороты N. Геометрически возможные сочетания
операций точечной симметрии определяют ту или
иную точечную группу симметрии, к-рая
изображается обычно в стереографической
проекции. При преобразованиях точечной симметрии
по крайней мере одна точка объекта остаётся
неподвижной — преобразуется сама в себя. В ней
пересекаются все элементы симметрии, и она
является центром стереографической проекции.
Примеры кристаллов, относящихся к различным
точечным группам, даны на на рис.3.
В кристаллах ввиду наличия кристаллической
решётки возможны только операции и
соответственно оси симметрии до 6-го порядка
(кроме 5-го; в кристаллической решётке не может
быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. с помощью
пятиугольных фигур нельзя заполнить пространство
без промежутков).
Для описания точечной группы симметрии
достаточно задать одну или несколько порождающих
её операции симметрии, остальные её операции
(если они есть) возникнут в результате
взаимодействия порождающих.
Группы, содержащие лишь повороты, описывают
кристаллы, состоящие только из совместимо равных
частей (группы 1-го рода). Группы, содержащие
отражения или инверсионные повороты, описывают
кристаллы, в которых есть зеркально равные части
(группы 2-го рода). Кристаллы, описываемые
группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в
двух энантиоморфных формах («правой» и «левой»,
каждая из к-рых не содержит элементов симметрии
2-го рода), по зеркально-равных друг другу
Группы симметрии кристаллов несут в себе
геометрический смысл: каждой из операций gi(G
соответствует, например, поворот вокруг оси
симметрии, отражение в плоскости. Некоторые
Страницы: 1, 2, 3, 4
