Золотое сечение

|Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из|

|сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой |

|пропорции для ботаники (рост растений и их строение). |

|Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена |

|она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой |

|пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, |

|если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция |

|сохраняется до бесконечности». |

|Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в |

|сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения |

|(нисходящий ряд). |

|Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом |

|откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем |

|шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего |

|рядов: |

| |

|[pic] |

|Рис. 9. Построение шкалы отрезков золотой пропорции |

| |

|В последующие века правило золотой пропорции превратилось в |

|академический канон и, когда со временем в искусстве началась |

|борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой |

|выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в |

|середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения |

|профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические |

|исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было |

|неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает |

|явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он |

|абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее |

|универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга |

|были многочисленные последователи, но были и противники, которые |

|объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой». |

|[pic] |

|Рис. 10. Золотые пропорции в частях тела человека |

| |

| | |Цейзинг проделал колоссальную |

|[pic] | |работу. Он измерил около двух |

|Рис. 11. Золотые пропорции в | |тысяч человеческих тел и пришел|

|фигуре человека | |к выводу, что золотое сечение |

| | |выражает средний статистический|

| | |закон. Деление тела точкой пупа|

| | |– важнейший показатель золотого|

| | |сечения. Пропорции мужского |

| | |тела колеблются в пределах |

| | |среднего отношения 13 : 8 = |

| | |1,625 и несколько ближе |

| | |подходят к золотому сечению, |

| | |чем пропорции женского тела, в |

| | |отношении которого среднее |

| | |значение пропорции выражается в|

| | |соотношении 8 : 5 = 1,6. У |

| | |новорожденного пропорция |

| | |составляет отношение 1 : 1, к |

| | |13 годам она равна 1,6, а к 21 |

| | |году равняется мужской. |

| | |Пропорции золотого сечения |

| | |проявляются и в отношении |

| | |других частей тела – длина |

| | |плеча, предплечья и кисти, |

| | |кисти и пальцев и т.д. |

| | | |

| | | |

|Справедливость | | | | | | | | | | | | | | |

|своей теории | | | | | | | | | | | | | | |

|Цейзинг проверял на| | | | | | | | | | | | | | |

|греческих статуях. | | | | | | | | | | | | | | |

|Наиболее подробно | | | | | | | | | | | | | | |

|он разработал | | | | | | | | | | | | | | |

|пропорции Аполлона | | | | | | | | | | | | | | |

|Бельведерского. | | | | | | | | | | | | | | |

|Подверглись | | | | | | | | | | | | | | |

|исследованию | | | | | | | | | | | | | | |

|греческие вазы, | | | | | | | | | | | | | | |

|архитектурные | | | | | | | | | | | | | | |

|сооружения | | | | | | | | | | | | | | |

|различных эпох, | | | | | | | | | | | | | | |

|растения, животные,| | | | | | | | | | | | | | |

|птичьи яйца, | | | | | | | | | | | | | | |

|музыкальные тона, | | | | | | | | | | | | | | |

|стихотворные | | | | | | | | | | | | | | |

|размеры. Цейзинг | | | | | | | | | | | | | | |

|дал определение | | | | | | | | | | | | | | |

|золотому сечению, | | | | | | | | | | | | | | |

|показал, как оно | | | | | | | | | | | | | | |

|выражается в | | | | | | | | | | | | | | |

|отрезках прямой и в| | | | | | | | | | | | | | |

|цифрах. Когда | | | | | | | | | | | | | | |

|цифры, выражающие | | | | | | | | | | | | | | |

|длины отрезков, | | | | | | | | | | | | | | |

|были получены, | | | | | | | | | | | | | | |

|Цейзинг увидел, что| | | | | | | | | | | | | | |

|они составляют ряд | | | | | | | | | | | | | | |

|Фибоначчи, который | | | | | | | | | | | | | | |

|можно продолжать до| | | | | | | | | | | | | | |

|бесконечности в | | | | | | | | | | | | | | |

|одну и в другую | | | | | | | | | | | | | | |

|сторону. Следующая | | | | | | | | | | | | | | |

|его книга имела | | | | | | | | | | | | | | |

|название «Золотое | | | | | | | | | | | | | | |

|деление как | | | | | | | | | | | | | | |

|основной | | | | | | | | | | | | | | |

|морфологический | | | | | | | | | | | | | | |

|закон в природе и | | | | | | | | | | | | | | |

|искусстве». В 1876 | | | | | | | | | | | | | | |

|г. в России была | | | | | | | | | | | | | | |

|издана небольшая | | | | | | | | | | | | | | |

|книжка, почти | | | | | | | | | | | | | | |

|брошюра, с | | | | | | | | | | | | | | |

|изложением этого | | | | | | | | | | | | | | |

|труда Цейзинга. | | | | | | | | | | | | | | |

|Автор укрылся под | | | | | | | | | | | | | | |

|инициалами Ю.Ф.В. В| | | | | | | | | | | | | | |

|этом издании не | | | | | | | | | | | | | | |

|упомянуто ни одно | | | | | | | | | | | | | | |

|произведение | | | | | | | | | | | | | | |

|живописи. | | | | | | | | | | | | | | |

|В конце XIX – | | | | | | | | | | | | | | |

|начале XX вв. | | | | | | | | | | | | | | |

|появилось немало | | | | | | | | | | | | | | |

|чисто | | | | | | | | | | | | | | |

|формалистических | | | | | | | | | | | | | | |

|теории о применении| | | | | | | | | | | | | | |

|золотого сечения в | | | | | | | | | | | | | | |

|произведениях | | | | | | | | | | | | | | |

|искусства и | | | | | | | | | | | | | | |

|архитектуры. С | | | | | | | | | | | | | | |

|развитием дизайна и| | | | | | | | | | | | | | |

|технической | | | | | | | | | | | | | | |

|эстетики действие | | | | | | | | | | | | | | |

|закона золотого | | | | | | | | | | | | | | |

|сечения | | | | | | | | | | | | | | |

|распространилось на| | | | | | | | | | | | | | |

|конструирование | | | | | | | | | | | | | | |

|машин, мебели и | | | | | | | | | | | | | | |

|т.д. | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

|6. Ряд Фибоначчи | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

|С историей золотого| | | | | | | | | | | | | | |

|сечения косвенным | | | | | | | | | | | | | | |

|образом связано имя| | | | | | | | | | | | | | |

|итальянского | | | | | | | | | | | | | | |

|математика монаха | | | | | | | | | | | | | | |

|Леонардо из Пизы, | | | | | | | | | | | | | | |

|более известного | | | | | | | | | | | | | | |

|под именем | | | | | | | | | | | | | | |

|Фибоначчи (сын | | | | | | | | | | | | | | |

|Боначчи). Он много | | | | | | | | | | | | | | |

|путешествовал по | | | | | | | | | | | | | | |

|Востоку, познакомил| | | | | | | | | | | | | | |

|Европу с индийскими| | | | | | | | | | | | | | |

|(арабскими) | | | | | | | | | | | | | | |

|цифрами. В 1202 г | | | | | | | | | | | | | | |

|вышел в свет его | | | | | | | | | | | | | | |

|математический труд| | | | | | | | | | | | | | |

|«Книга об абаке» | | | | | | | | | | | | | | |

|(счетной доске), в | | | | | | | | | | | | | | |

|котором были | | | | | | | | | | | | | | |

|собраны все | | | | | | | | | | | | | | |

|известные на то | | | | | | | | | | | | | | |

|время задачи. Одна | | | | | | | | | | | | | | |

|из задач гласила | | | | | | | | | | | | | | |

|«Сколько пар | | | | | | | | | | | | | | |

|кроликов в один год| | | | | | | | | | | | | | |

|от одной пары | | | | | | | | | | | | | | |

|родится». Размышляя| | | | | | | | | | | | | | |

|на эту тему, | | | | | | | | | | | | | | |

|Фибоначчи выстроил | | | | | | | | | | | | | | |

|такой ряд цифр: | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

|Месяцы |0|1|2|3|4|5|6|7 |8 |9 |10|11|12 |и т.д. |

|Пары кроликов |0|1|1|2|3|5|8|13|21|34|55|89|144 |и т.д. |

| | | | | | | | | | | | | | | |

|Ряд чисел 0, 1, 1, | | | | | | | | | | | | | | |

|2, 3, 5, 8, 13, 21,| | | | | | | | | | | | | | |

|34, 55 и т.д. | | | | | | | | | | | | | | |

|известен как ряд | | | | | | | | | | | | | | |

|Фибоначчи. | | | | | | | | | | | | | | |

|Особенность | | | | | | | | | | | | | | |

|последовательности | | | | | | | | | | | | | | |

|чисел состоит в | | | | | | | | | | | | | | |

|том, что каждый ее | | | | | | | | | | | | | | |

|член, начиная с | | | | | | | | | | | | | | |

|третьего, равен | | | | | | | | | | | | | | |

|сумме двух | | | | | | | | | | | | | | |

|предыдущих 2 + 3 = | | | | | | | | | | | | | | |

|5; 3 + 5 = 8; 5 + 8| | | | | | | | | | | | | | |

|= 13, 8 + 13 = 21; | | | | | | | | | | | | | | |

|13 + 21 = 34 и | | | | | | | | | | | | | | |

|т.д., а отношение | | | | | | | | | | | | | | |

|смежных чисел ряда | | | | | | | | | | | | | | |

|приближается к | | | | | | | | | | | | | | |

|отношению золотого | | | | | | | | | | | | | | |

|деления. Так, | | | | | | | | | | | | | | |

|21 : 34 = 0,617, а | | | | | | | | | | | | | | |

|34 : 55 = 0,618. | | | | | | | | | | | | | | |

|Это отношение | | | | | | | | | | | | | | |

|обозначается | | | | | | | | | | | | | | |

|символом Ф. Только | | | | | | | | | | | | | | |

|это отношение – | | | | | | | | | | | | | | |

|0,618 : 0,382 – | | | | | | | | | | | | | | |

|дает непрерывное | | | | | | | | | | | | | | |

|деление отрезка | | | | | | | | | | | | | | |

|прямой в золотой | | | | | | | | | | | | | | |

|пропорции, | | | | | | | | | | | | | | |

|увеличение его или | | | | | | | | | | | | | | |

|уменьшение до | | | | | | | | | | | | | | |

|бесконечности, | | | | | | | | | | | | | | |

|когда меньший | | | | | | | | | | | | | | |

|отрезок так | | | | | | | | | | | | | | |

|относится к | | | | | | | | | | | | | | |

|большему, как | | | | | | | | | | | | | | |

|больший ко всему. | | | | | | | | | | | | | | |

|Фибоначчи так же | | | | | | | | | | | | | | |

|занимался решением | | | | | | | | | | | | | | |

|практических нужд | | | | | | | | | | | | | | |

|торговли: с помощью| | | | | | | | | | | | | | |

|какого наименьшего | | | | | | | | | | | | | | |

|количества гирь | | | | | | | | | | | | | | |

|можно взвесить | | | | | | | | | | | | | | |

|товар? Фибоначчи | | | | | | | | | | | | | | |

|доказывает, что | | | | | | | | | | | | | | |

|оптимальной | | | | | | | | | | | | | | |

|является такая | | | | | | | | | | | | | | |

|система гирь: 1, 2,| | | | | | | | | | | | | | |

|4, 8, 16... | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

|7. Обобщенное | | | | | | | | | | | | | | |

|золотое сечение | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

|Ряд Фибоначчи мог | | | | | | | | | | | | | | |

|бы остаться только | | | | | | | | | | | | | | |

|математическим | | | | | | | | | | | | | | |

|казусом, если бы не| | | | | | | | | | | | | | |

|то обстоятельство, | | | | | | | | | | | | | | |

|что все | | | | | | | | | | | | | | |

|исследователи | | | | | | | | | | | | | | |

|золотого деления в | | | | | | | | | | | | | | |

|растительном и в | | | | | | | | | | | | | | |

|животном мире, не | | | | | | | | | | | | | | |

|говоря уже об | | | | | | | | | | | | | | |

|искусстве, | | | | | | | | | | | | | | |

|неизменно приходили| | | | | | | | | | | | | | |

|к этому ряду как | | | | | | | | | | | | | | |

|арифметическому | | | | | | | | | | | | | | |

|выражению закона | | | | | | | | | | | | | | |

|золотого деления. | | | | | | | | | | | | | | |

|Ученые продолжали | | | | | | | | | | | | | | |

|активно развивать | | | | | | | | | | | | | | |

|теорию чисел | | | | | | | | | | | | | | |

|Фибоначчи и | | | | | | | | | | | | | | |

|золотого сечения. | | | | | | | | | | | | | | |

|Ю. Матиясевич с | | | | | | | | | | | | | | |

|использованием | | | | | | | | | | | | | | |

|чисел Фибоначчи | | | | | | | | | | | | | | |

|решает 10-ю | | | | | | | | | | | | | | |

|проблему Гильберта.| | | | | | | | | | | | | | |

|Возникают изящные | | | | | | | | | | | | | | |

|методы решения ряда| | | | | | | | | | | | | | |

|кибернетических | | | | | | | | | | | | | | |

|задач (теории | | | | | | | | | | | | | | |

|поиска, игр, | | | | | | | | | | | | | | |

|программирования) с| | | | | | | | | | | | | | |

|использованием | | | | | | | | | | | | | | |

|чисел Фибоначчи и | | | | | | | | | | | | | | |

|золотого сечения. В| | | | | | | | | | | | | | |

|США создается даже | | | | | | | | | | | | | | |

|Математическая | | | | | | | | | | | | | | |

|Фибоначчи-ассоциаци| | | | | | | | | | | | | | |

|я, которая с 1963 | | | | | | | | | | | | | | |

|года выпускает | | | | | | | | | | | | | | |

|специальный журнал.| | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

|Одним из достижений| | | | | | | | | | | | | | |

|в этой области | | | | | | | | | | | | | | |

|является открытие | | | | | | | | | | | | | | |

|обобщенных чисел | | | | | | | | | | | | | | |

|Фибоначчи и | | | | | | | | | | | | | | |

|обобщенных золотых | | | | | | | | | | | | | | |

|сечений. | | | | | | | | | | | | | | |

|Ряд Фибоначчи (1, | | | | | | | | | | | | | | |

|1, 2, 3, 5, 8) и | | | | | | | | | | | | | | |

|открытый им же | | | | | | | | | | | | | | |

|«двоичный» ряд гирь| | | | | | | | | | | | | | |

|1, 2, 4, 8, 16... | | | | | | | | | | | | | | |

|на первый взгляд | | | | | | | | | | | | | | |

|совершенно разные. | | | | | | | | | | | | | | |

|Но алгоритмы их | | | | | | | | | | | | | | |

|построения весьма | | | | | | | | | | | | | | |

|похожи друг на | | | | | | | | | | | | | | |

|друга: в первом | | | | | | | | | | | | | | |

|случае каждое число| | | | | | | | | | | | | | |

|есть сумма | | | | | | | | | | | | | | |

|предыдущего числа с| | | | | | | | | | | | | | |

|самим собой 2 = 1 +| | | | | | | | | | | | | | |

|1; 4 = 2 + 2..., во| | | | | | | | | | | | | | |

|втором – это сумма | | | | | | | | | | | | | | |

|двух предыдущих | | | | | | | | | | | | | | |

|чисел 2 = 1 + 1, 3 | | | | | | | | | | | | | | |

|= 2 + 1, 5 = 3 + | | | | | | | | | | | | | | |

|2.... Нельзя ли | | | | | | | | | | | | | | |

|отыскать общую | | | | | | | | | | | | | | |

|математическую | | | | | | | | | | | | | | |

|формулу, из которой| | | | | | | | | | | | | | |

|получаются и | | | | | | | | | | | | | | |

|«двоичный» ряд, и | | | | | | | | | | | | | | |

|ряд Фибоначчи? А | | | | | | | | | | | | | | |

|может быть, эта | | | | | | | | | | | | | | |

|формула даст нам | | | | | | | | | | | | | | |

|новые числовые | | | | | | | | | | | | | | |

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5