Золотое сечение

|множества, | | | | | | | | | | | | | | |

|обладающие | | | | | | | | | | | | | | |

|какими-то новыми | | | | | | | | | | | | | | |

|уникальными | | | | | | | | | | | | | | |

|свойствами? | | | | | | | | | | | | | | |

|Действительно, | | | | | | | | | | | | | | |

|зададимся числовым | | | | | | | | | | | | | | |

|параметром S, | | | | | | | | | | | | | | |

|который может | | | | | | | | | | | | | | |

|принимать любые | | | | | | | | | | | | | | |

|значения: 0, 1, 2, | | | | | | | | | | | | | | |

|3, 4, 5... | | | | | | | | | | | | | | |

|Рассмотрим числовой| | | | | | | | | | | | | | |

|ряд, S + 1 первых | | | | | | | | | | | | | | |

|членов которого – | | | | | | | | | | | | | | |

|единицы, а каждый | | | | | | | | | | | | | | |

|из последующих | | | | | | | | | | | | | | |

|равен сумме двух | | | | | | | | | | | | | | |

|членов предыдущего | | | | | | | | | | | | | | |

|и отстоящего от | | | | | | | | | | | | | | |

|предыдущего на S | | | | | | | | | | | | | | |

|шагов. Если n-й | | | | | | | | | | | | | | |

|член этого ряда мы | | | | | | | | | | | | | | |

|обозначим через ?S | | | | | | | | | | | | | | |

|(n), то получим | | | | | | | | | | | | | | |

|общую формулу ?S | | | | | | | | | | | | | | |

|(n) = ?S (n – 1) + | | | | | | | | | | | | | | |

|?S (n – S – 1). | | | | | | | | | | | | | | |

|Очевидно, что при S| | | | | | | | | | | | | | |

|= 0 из этой формулы| | | | | | | | | | | | | | |

|мы получим | | | | | | | | | | | | | | |

|«двоичный» ряд, при| | | | | | | | | | | | | | |

|S = 1 – ряд | | | | | | | | | | | | | | |

|Фибоначчи, при S = | | | | | | | | | | | | | | |

|2, 3, 4. новые ряды| | | | | | | | | | | | | | |

|чисел, которые | | | | | | | | | | | | | | |

|получили название | | | | | | | | | | | | | | |

|S-чисел Фибоначчи. | | | | | | | | | | | | | | |

|В общем виде | | | | | | | | | | | | | | |

|золотая S-пропорция| | | | | | | | | | | | | | |

|есть положительный | | | | | | | | | | | | | | |

|корень уравнения | | | | | | | | | | | | | | |

|золотого S-сечения | | | | | | | | | | | | | | |

|xS+1 – xS – 1 = 0. | | | | | | | | | | | | | | |

|Нетрудно показать, | | | | | | | | | | | | | | |

|что при S = 0 | | | | | | | | | | | | | | |

|получается деление | | | | | | | | | | | | | | |

|отрезка пополам, а | | | | | | | | | | | | | | |

|при S = 1 –знакомое| | | | | | | | | | | | | | |

|классическое | | | | | | | | | | | | | | |

|золотое сечение. | | | | | | | | | | | | | | |

|Отношения соседних | | | | | | | | | | | | | | |

|S-чисел Фибоначчи с| | | | | | | | | | | | | | |

|абсолютной | | | | | | | | | | | | | | |

|математической | | | | | | | | | | | | | | |

|точностью совпадают| | | | | | | | | | | | | | |

|в пределе с | | | | | | | | | | | | | | |

|золотыми | | | | | | | | | | | | | | |

|S-пропорциями! | | | | | | | | | | | | | | |

|Математики в таких | | | | | | | | | | | | | | |

|случаях говорят, | | | | | | | | | | | | | | |

|что золотые | | | | | | | | | | | | | | |

|S-сечения являются | | | | | | | | | | | | | | |

|числовыми | | | | | | | | | | | | | | |

|инвариантами | | | | | | | | | | | | | | |

|S-чисел Фибоначчи. | | | | | | | | | | | | | | |

|Факты, | | | | | | | | | | | | | | |

|подтверждающие | | | | | | | | | | | | | | |

|существование | | | | | | | | | | | | | | |

|золотых S-сечений в| | | | | | | | | | | | | | |

|природе, приводит | | | | | | | | | | | | | | |

|белорусский ученый | | | | | | | | | | | | | | |

|Э.М. Сороко в книге| | | | | | | | | | | | | | |

|«Структурная | | | | | | | | | | | | | | |

|гармония систем» | | | | | | | | | | | | | | |

|(Минск, «Наука и | | | | | | | | | | | | | | |

|техника», 1984). | | | | | | | | | | | | | | |

|Оказывается, | | | | | | | | | | | | | | |

|например, что | | | | | | | | | | | | | | |

|хорошо изученные | | | | | | | | | | | | | | |

|двойные сплавы | | | | | | | | | | | | | | |

|обладают особыми, | | | | | | | | | | | | | | |

|ярко выраженными | | | | | | | | | | | | | | |

|функциональными | | | | | | | | | | | | | | |

|свойствами | | | | | | | | | | | | | | |

|(устойчивы в | | | | | | | | | | | | | | |

|термическом | | | | | | | | | | | | | | |

|отношении, тверды, | | | | | | | | | | | | | | |

|износостойки, | | | | | | | | | | | | | | |

|устойчивы к | | | | | | | | | | | | | | |

|окислению и т. п) | | | | | | | | | | | | | | |

|только в том | | | | | | | | | | | | | | |

|случае, если | | | | | | | | | | | | | | |

|удельные веса | | | | | | | | | | | | | | |

|исходных | | | | | | | | | | | | | | |

|компонентов связаны| | | | | | | | | | | | | | |

|друг с другом одной| | | | | | | | | | | | | | |

|из золотых | | | | | | | | | | | | | | |

|S-пропорций. Это | | | | | | | | | | | | | | |

|позволило автору | | | | | | | | | | | | | | |

|выдвинуть гипотезу | | | | | | | | | | | | | | |

|о том, что золотые | | | | | | | | | | | | | | |

|S-сечения есть | | | | | | | | | | | | | | |

|числовые инварианты| | | | | | | | | | | | | | |

|самоорганизующихся | | | | | | | | | | | | | | |

|систем. Будучи | | | | | | | | | | | | | | |

|подтвержденной | | | | | | | | | | | | | | |

|экспериментально, | | | | | | | | | | | | | | |

|эта гипотеза может | | | | | | | | | | | | | | |

|иметь | | | | | | | | | | | | | | |

|фундаментальное | | | | | | | | | | | | | | |

|значение для | | | | | | | | | | | | | | |

|развития | | | | | | | | | | | | | | |

|синергетики – новой| | | | | | | | | | | | | | |

|области науки, | | | | | | | | | | | | | | |

|изучающей процессы | | | | | | | | | | | | | | |

|в | | | | | | | | | | | | | | |

|самоорганизующихся | | | | | | | | | | | | | | |

|системах. | | | | | | | | | | | | | | |

|С помощью кодов | | | | | | | | | | | | | | |

|золотой S-пропорции| | | | | | | | | | | | | | |

|можно выразить | | | | | | | | | | | | | | |

|любое | | | | | | | | | | | | | | |

|действительное | | | | | | | | | | | | | | |

|число в виде суммы | | | | | | | | | | | | | | |

|степеней золотых | | | | | | | | | | | | | | |

|S-пропорций с | | | | | | | | | | | | | | |

|целыми | | | | | | | | | | | | | | |

|коэффициентами. | | | | | | | | | | | | | | |

|Принципиальное | | | | | | | | | | | | | | |

|отличие такого | | | | | | | | | | | | | | |

|способа кодирования| | | | | | | | | | | | | | |

|чисел заключается в| | | | | | | | | | | | | | |

|том, что основания | | | | | | | | | | | | | | |

|новых кодов, | | | | | | | | | | | | | | |

|представляющие | | | | | | | | | | | | | | |

|собой золотые | | | | | | | | | | | | | | |

|S-пропорции, при S | | | | | | | | | | | | | | |

|> 0 оказываются | | | | | | | | | | | | | | |

|иррациональными | | | | | | | | | | | | | | |

|числами. Таким | | | | | | | | | | | | | | |

|образом, новые | | | | | | | | | | | | | | |

|системы счисления с| | | | | | | | | | | | | | |

|иррациональными | | | | | | | | | | | | | | |

|основаниями как бы | | | | | | | | | | | | | | |

|ставят «с головы на| | | | | | | | | | | | | | |

|ноги» исторически | | | | | | | | | | | | | | |

|сложившуюся | | | | | | | | | | | | | | |

|иерархию отношений | | | | | | | | | | | | | | |

|между числами | | | | | | | | | | | | | | |

|рациональными и | | | | | | | | | | | | | | |

|иррациональными. | | | | | | | | | | | | | | |

|Дело в том, что | | | | | | | | | | | | | | |

|сначала были | | | | | | | | | | | | | | |

|«открыты» числа | | | | | | | | | | | | | | |

|натуральные; затем | | | | | | | | | | | | | | |

|их отношения – | | | | | | | | | | | | | | |

|числа рациональные.| | | | | | | | | | | | | | |

|И лишь позже – | | | | | | | | | | | | | | |

|после открытия | | | | | | | | | | | | | | |

|пифагорейцами | | | | | | | | | | | | | | |

|несоизмеримых | | | | | | | | | | | | | | |

|отрезков – на свет | | | | | | | | | | | | | | |

|появились | | | | | | | | | | | | | | |

|иррациональные | | | | | | | | | | | | | | |

|числа. Скажем, в | | | | | | | | | | | | | | |

|десятичной, | | | | | | | | | | | | | | |

|пятеричной, | | | | | | | | | | | | | | |

|двоичной и других | | | | | | | | | | | | | | |

|классических | | | | | | | | | | | | | | |

|позиционных | | | | | | | | | | | | | | |

|системах счисления | | | | | | | | | | | | | | |

|в качестве | | | | | | | | | | | | | | |

|своеобразной | | | | | | | | | | | | | | |

|первоосновы были | | | | | | | | | | | | | | |

|выбраны натуральные| | | | | | | | | | | | | | |

|числа – 10, 5, 2, –| | | | | | | | | | | | | | |

|из которых уже по | | | | | | | | | | | | | | |

|определенным | | | | | | | | | | | | | | |

|правилам | | | | | | | | | | | | | | |

|конструировались | | | | | | | | | | | | | | |

|все другие | | | | | | | | | | | | | | |

|натуральные, а | | | | | | | | | | | | | | |

|также рациональные | | | | | | | | | | | | | | |

|и иррациональные | | | | | | | | | | | | | | |

|числа. | | | | | | | | | | | | | | |

|Своего рода | | | | | | | | | | | | | | |

|альтернативой | | | | | | | | | | | | | | |

|существующим | | | | | | | | | | | | | | |

|способам счисления | | | | | | | | | | | | | | |

|выступает новая, | | | | | | | | | | | | | | |

|иррациональная | | | | | | | | | | | | | | |

|система, в качестве| | | | | | | | | | | | | | |

|первоосновы, начала| | | | | | | | | | | | | | |

|счисления которой | | | | | | | | | | | | | | |

|выбрано | | | | | | | | | | | | | | |

|иррациональное | | | | | | | | | | | | | | |

|число (являющееся, | | | | | | | | | | | | | | |

|напомним, корнем | | | | | | | | | | | | | | |

|уравнения золотого | | | | | | | | | | | | | | |

|сечения); через | | | | | | | | | | | | | | |

|него уже выражаются| | | | | | | | | | | | | | |

|другие | | | | | | | | | | | | | | |

|действительные | | | | | | | | | | | | | | |

|числа. | | | | | | | | | | | | | | |

|В такой системе | | | | | | | | | | | | | | |

|счисления любое | | | | | | | | | | | | | | |

|натуральное число | | | | | | | | | | | | | | |

|всегда представимо | | | | | | | | | | | | | | |

|в виде конечной, – | | | | | | | | | | | | | | |

|а не бесконечной, | | | | | | | | | | | | | | |

|как думали ранее! –| | | | | | | | | | | | | | |

|суммы степеней | | | | | | | | | | | | | | |

|любой из золотых | | | | | | | | | | | | | | |

|S-пропорций. Это | | | | | | | | | | | | | | |

|одна из причин, | | | | | | | | | | | | | | |

|почему | | | | | | | | | | | | | | |

|«иррациональная» | | | | | | | | | | | | | | |

|арифметика, обладая| | | | | | | | | | | | | | |

|удивительной | | | | | | | | | | | | | | |

|математической | | | | | | | | | | | | | | |

|простотой и | | | | | | | | | | | | | | |

|изяществом, как бы | | | | | | | | | | | | | | |

|вобрала в себя | | | | | | | | | | | | | | |

|лучшие качества | | | | | | | | | | | | | | |

|классической | | | | | | | | | | | | | | |

|двоичной и | | | | | | | | | | | | | | |

|«Фибоначчиевой» | | | | | | | | | | | | | | |

|арифметик. | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

|8. Принципы | | | | | | | | | | | | | | |

|формообразования в | | | | | | | | | | | | | | |

|природе | | | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | | | |

|Все, что | | | | | | | | | | | | | | |

|приобретало | | | | | | | | | | | | | | |

|какую-то форму, | | | | | | | | | | | | | | |

|образовывалось, | | | | | | | | | | | | | | |

|росло, стремилось | | | | | | | | | | | | | | |

|занять место в | | | | | | | | | | | | | | |

|пространстве и | | | | | | | | | | | | | | |

|сохранить себя. Это| | | | | | | | | | | | | | |

|стремление находит | | | | | | | | | | | | | | |

|осуществление в | | | | | | | | | | | | | | |

|основном в двух | | | | | | | | | | | | | | |

|вариантах – рост | | | | | | | | | | | | | | |

|вверх или | | | | | | | | | | | | | | |

|расстилание по | | | | | | | | | | | | | | |

|поверхности земли и| | | | | | | | | | | | | | |

|закручивание по | | | | | | | | | | | | | | |

|спирали. | | | | | | | | | | | | | | |

|Раковина закручена | | | | | | | | | | | | | | |

|по спирали. Если ее| | | | | | | | | | | | | | |

|развернуть, то | | | | | | | | | | | | | | |

|получается длина, | | | | | | | | | | | | | | |

|немного уступающая | | | | | | | | | | | | | | |

|длине змеи. | | | | | | | | | | | | | | |

|Небольшая | | | | | | | | | | | | | | |

|десятисантиметровая| | | | | | | | | | | | | | |

|раковина имеет | | | | | | | | | | | | | | |

|спираль длиной 35 | | | | | | | | | | | | | | |

|см. Спирали очень | | | | | | | | | | | | | | |

|распространены в | | | | | | | | | | | | | | |

|природе. | | | | | | | | | | | | | | |

|Представление о | | | | | | | | | | | | | | |

|золотом сечении | | | | | | | | | | | | | | |

|будет неполным, | | | | | | | | | | | | | | |

|если не сказать о | | | | | | | | | | | | | | |

|спирали. | | | | | | | | | | | | | | |

|[pic] | | | | | | | | | | | | | | |

|Рис. 12. Спираль | | | | | | | | | | | | | | |

|Архимеда | | | | | | | | | | | | | | |

|Форма спирально | | | | | | | | | | | | | | |

|завитой раковины | | | | | | | | | | | | | | |

|привлекла внимание | | | | | | | | | | | | | | |

|Архимеда. Он изучал| | | | | | | | | | | | | | |

|ее и вывел | | | | | | | | | | | | | | |

|уравнение спирали. | | | | | | | | | | | | | | |

|Спираль, | | | | | | | | | | | | | | |

|вычерченная по | | | | | | | | | | | | | | |

|этому уравнению, | | | | | | | | | | | | | | |

|называется его | | | | | | | | | | | | | | |

|именем. Увеличение | | | | | | | | | | | | | | |

|ее шага всегда | | | | | | | | | | | | | | |

|равномерно. В | | | | | | | | | | | | | | |

|настоящее время | | | | | | | | | | | | | | |

|спираль Архимеда | | | | | | | | | | | | | | |

|широко применяется | | | | | | | | | | | | | | |

|в технике. | | | | | | | | | | | | | | |

|Еще Гете | | | | | | | | | | | | | | |

|подчеркивал | | | | | | | | | | | | | | |

|тенденцию природы к| | | | | | | | | | | | | | |

|спиральности. | | | | | | | | | | | | | | |

|Винтообразное и | | | | | | | | | | | | | | |

|спиралевидное | | | | | | | | | | | | | | |

|расположение | | | | | | | | | | | | | | |

|листьев на ветках | | | | | | | | | | | | | | |

|деревьев подметили | | | | | | | | | | | | | | |

|давно. Спираль | | | | | | | | | | | | | | |

|увидели в | | | | | | | | | | | | | | |

|расположении семян | | | | | | | | | | | | | | |

|подсолнечника, в | | | | | | | | | | | | | | |

|шишках сосны, | | | | | | | | | | | | | | |

|ананасах, кактусах | | | | | | | | | | | | | | |

|и т.д. Совместная | | | | | | | | | | | | | | |

|работа ботаников и | | | | | | | | | | | | | | |

|математиков пролила| | | | | | | | | | | | | | |

|свет на эти | | | | | | | | | | | | | | |

|удивительные | | | | | | | | | | | | | | |

|явления природы. | | | | | | | | | | | | | | |

|Выяснилось, что в | | | | | | | | | | | | | | |

|расположении | | | | | | | | | | | | | | |

|листьев на ветке | | | | | | | | | | | | | | |

|(филотаксис), семян| | | | | | | | | | | | | | |

|подсолнечника, | | | | | | | | | | | | | | |

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5